信号与系统

signals and systems

信号与系统

预备知识

三角函数 <-> 复数

$$\cos \theta = \frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}$$

$$\sin \theta = \frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}$$

伽马函数

$$\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infin}x^{\alpha -1}e^{-x}dx=(\alpha-1)\Gamma(\alpha -1)$$

$$\Gamma(\frac 12)=\sqrt{\pi}$$

sinc函数

$$sinc(\theta)=\frac{\sin(\pi\theta)}{\pi\theta}$$

Sa函数

$$Sa(\theta)=\frac{\sin\theta}{\theta}$$

单位冲激函数性质

$$\delta(at)=\frac 1a \delta (a)$$

原理： 为了保证面积相等，水平方向和垂直方向需要同时拉伸, 证明：

$$\int_{-\infin}^{+\infin}\delta(at)dt=\frac 1a = \int_{-\infin}^{+\infin}\frac 1a \delta(t)dt$$

推荐习题

（课程的课后作业）

第一章：1.21(f)、1.22(e)、1.24(b)、1.25(b)、1.26(c, e)、1.27(b)、1.28(b)、1.46

第二章：2.20、2.21(a)、2.22©、2.28©、2.29(g)、2.33、2.39(b)、2.47(b, d, f)

第三章：3.21、3.22(b)、3.28©、3.34©、3.35

第四章：4.21(g, h)、4.22(a, d)、4.25(a, b, c, d)、4.28(a)、4.35、4.36

第五章：5.19、5.21(e, j)、5.22(a)、5.26(a, d)、5.33(a, b.i, b.iv, c.i)

第六-八章：6.23(b, c)、7.3、7.6、7.23、8.24、8.34

第九章：9.21(b, j)、9.22(e)、9.23(1)、9.25©、9.26、9.31、9.35、9.40

第十章：10.7、10.16、10.21(a, g)、10.24(a, b)、10.33、10.37、10.42(b)、10.59

第1章信号与系统

能量和功率

信号的能量

连续时间

$$\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2\mathrm{d}t$$

离散时间

$$\sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|^2$$

信号的功率

连续时间

$$\frac 1{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2\mathrm{d}t$$

离散时间

$$\frac 1{n_2-n_1+1}\sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|^2$$

基本系统性质

1. 记忆系统与无记忆系统

2. 可逆性与可逆系统

   一个系统如果在不同的输入下,导致不同的输出,就称该系统是可逆的

3. 因果性

   如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统就称为因果系统

4. 稳定性

   一个稳定系统,若其输入是有界的(即输入的幅度不是无界增长的),则系统的输出也必须是有界的,因此不可能发散。

5. 时不变性

   若 $y[n]$ 是一个离散时间时不变系统在输入为 $x[n]$ 时的输出，那么当输入为 $x[n-n_0]$ 时，输出就为 $y[n-n_0]$

6. 线性

   1. $y_1(t)+y_2(t)$是对 $x_1(t)+x_2(t)$的响应
   2. $ay_1(t)$ 是对 $ax_1(t)$ 的响应，此处 $a$ 为任意复常数。

第2章线性时不变系统

卷积和

离散时间卷积

$$y[n]=x[n]*h[n]$$

$$y[n]=\sum_{k=-\infin}^{+\infin}x[k]h[n-k]$$

连续时间卷积

$$y(t)=x(t)*h(t)$$

$$y(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$

性质

1.交换律

离散时间

$$x[n]*h[n]=h[n]*x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k]$$

连续时间

$$x(t)*h(t)=h(t)*x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)\mathrm{d}\tau$$

2.分配率

离散时间

$$x[n]*(h_{1}[n]+h_{2}[n]) = x[n]*h_{1}[n]+ x[n]*h_{2}[n]$$

连续时间

$$x(t)*[h_{1}(t)+h_{2}(t)] = x(t)*h_{1}(t) + x(t)*h_{2}(t)$$

3.结合律

离散时间

$$x[n]*(h_{1}[n]*h_{2}[n])=(x[n]*h_{1}[n])*h_{2}[n]$$

连续时间

$$x(t)*[h_{1}(t)*h_{2}(t)]=[x(t)*h_{1}(t)]*h_{2}(t)$$

4.有记忆和无记忆线性时不变系统

若一个系统在任何时刻的输出仅与同一时刻的输入值有关，则是无记忆的，其单位冲激响应需要满足

$$h[n]=K\delta[n]$$

$$h(t)=K\delta(t)$$

5.可逆性

在连续时间情况下,一个冲激响应为 $h(t)$ 的线性时不变系统的逆系统的冲激响应 $h_1(t)$ 必须满足

$$h(t)*h_1(t) = \delta(t)$$

在离散时间情况下,一个冲激响应为 $h[n]$ 的线性时不变系统的逆系统的冲激响应 $h_1[n]$ 必须满足

$$h[n]*h_1[n]=\delta[n]$$

6.因果性

因果离散时间线性时不变系统的冲激响应满足下面条件：

$$h[n]=0,\quad n<0$$

因果连续时间线性时不变系统的冲激响应满足下面条件：

$$h(t)=0,\quad t<0$$

7.稳定性

单位脉冲响应是绝对可和的，即

$$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|h[k]|<\infty$$

充要条件为系统是稳定的

单位脉冲响应是绝对可积的，即

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|h(\tau)|\mathrm{d}\tau<\infty$$

充要条件为系统是稳定的

8.单位阶跃响应

离散时间单位阶跃响应

$$s[n] = \sum_{k=-\infty}^nh[k]=u[n]*h[n]$$

连续时间单位阶跃响应

$$s(t) = \int_{-\infty}^{t}h(\tau)\mathrm{d}\tau =u(t)*h(t)$$

9.微分/差分特性

卷积积分的微分特性

$$x'(t)*h(t)=x(t)*h'(t)=y'(t)$$

$$x^{(m)}(t)*h^{(n)}(t)=y^{(m+n)}(t)$$

卷积和的差分特性

$$(x[n]-x[n-1])*h[n]=x[n]*(h[n]-h[n-1])=y[n]-y[n-1]$$

10.积分/求和特性

卷积积分的积分特性

$$\bigg(\int_{-\infin}^tx(\tau)d\tau\bigg)*h(t)=x(t)*\bigg(\int_{-\infin}^th(\tau)d\tau\bigg)=\int_{-\infin}^ty(\tau)d\tau$$

卷积和的求和特性

$$\left(\sum_{k=-\infty}^nx[k]\right)*h[n]=x[n]*\left(\sum_{k=-\infty}^nh[k]\right)=\sum_{k=-\infty}^ny[k]$$

11.时移特性

卷积积分

$$x(t-t_0)*h(t)=x(t)*h(t-t_0)=y(t-t_0)$$

卷积和

$$x[n-n_0]*h[n]=x[n]*h[n-n_0]=y[n-n_0]$$

微分方程求解

对于 n 阶微分方程

$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=0$$

先求出特征方程的 n 个根

$$\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n=0$$

再根据下表，写出每个特征根所对应的线性无关的特解

$$\begin{aligned}&\text{特征根}&&\text{对应的线性无关的特解}\\&\text{单实根 }\lambda&&\mathrm{e}^{\lambda x}\\&k\text{ 重实根 }\lambda(k>1)&&\mathrm{e}^{\lambda x},x\mathrm{e}^{\lambda x},\cdots,x^{k-1}\mathrm{e}^{\lambda x}\\&\text{单共轭复根 }\lambda_{1,2}=\alpha\pm\mathrm{i}\beta&&\mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x,\mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x\\&m\text{ 重共轭复根 }\lambda_{1,2}=\alpha\pm\mathrm{i}\beta(m>1)&&\mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x,\mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x,x\mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x,x\mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x,\cdots,\\&&&x^{m-1}e^{\alpha x}\cos \beta x,x^{m-1}e^{\alpha x}\sin \beta x\end{aligned}$$

不同的非齐次项 $f(x)$ 所对应的特解的形式列表如下（其中 $Q_n(x),R_n(x)$ 为 n 次多项式，系数待定）

一个 N 阶线性常系数微分方程由下面方程给出

$$\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y(t)}{\mathrm{d}t^{k}}=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x(t)}{\mathrm{d}t^{k}}$$

$y(t)$ 的解由特解和如下线性微分方程的解构成

$$\sum_{k=0}^Na_k\frac{\mathrm{d}^ky(t)}{\mathrm{d}t^k} = 0$$

这个方程的解称为该系统的自然响应

差分方程

N 阶线性常系数差分方程

$$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^Mb_kx[n-k]$$

$y[n]$ 的解由特解和如下其次方程的解构成

$$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=0$$

这个方程的解称为系统的自然响应

奇异函数

代表单位冲激导数的奇异函数

$$\frac{dx(t)}{dt}=x(t)*u_1(t)$$

$$u_k(t)=\underbrace{u_1(t)*\dots*u_1(t)}_{k次}$$

代表单位冲激积分的奇异函数

$$\int_{-\infin}^{t}x(\tau)d\tau = x(t)*u(t)$$

$$u_{-k}(t)=\underbrace{u(t)*\dots*u(t)}_{k次}=\int_{-\infin}^tu_{-(k-1)}(\tau)d\tau$$

$$u_{-k}(t)=\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}u(t)$$

$\delta(t)$和$u(t)$的另一种表示

$$\delta(t)=u_0(t)$$

$$u(t)=u_{-1}(t)$$

更一般的情况：

$$u_k(t)*u_r(t)=u_{k+r}(t)$$

第3章周期信号的傅里叶级数表示

对于连续时间周期信号$x(t)$

$$x(t)=\sum_{k=-\infin}^{+\infin}a_ke^{jk\omega_0 t}$$

$$a_k=\frac 1T \int_{T}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$$

$$x(t)\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}a_k$$

对于离散时间周期信号$x[n]$

$$x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0n}$$

$$a_k=\frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\omega_0n}$$

$$x[n]\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}a_k$$

连续时间傅里叶级数的收敛

狄里赫利条件

1. 在任何周期内，$x(t)$ 必须绝对可积

   $$\int_{T}\left|x(t)\right|\mathrm{d}t<\infty$$

2. 在任意有限区间内, $x(t)$ 具有有限个起伏变化;也就是说,在任何单个周期内, $x(t)$ 的最大值和最小值的数目有限。

3. 在 $x(t)$ 的任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值。

性质

连续时间

离散时间

傅里叶级数与线性时不变系统

课本P144

连续时间：

已知

$$h(t)*e^{st}=\int_{-\infin}^{+\infin}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau=e^{st}H(s)$$

其中

$$H(s)=\int_{-\infin}^{+\infin}h(t)e^{-st}dt$$

所以有

$$y(t)=x(t)*h(t)=\sum_{k=-\infin}^{+\infin}a_kH(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$$

傅里叶级数系数的关系

$$x(t)\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}a_k$$

$$x(t)*h(t)\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}a_kH(jk\omega_0)$$

离散时间

已知

$$h[n]*z^n=\sum_{k=-\infin}^{+\infin}h[k]z^{n-k}=z^nH(z)$$

其中

$$H(z)=\sum_{k=-\infin}^{+\infin}h[k]z^{-k}$$

所以有

$$y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infin}^{+\infin}a_kH(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}$$

傅里叶级数系数的关系

$$x[n]\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}a_k$$

$$x[n]*h[n]\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}a_kH(e^{jk\omega_0})$$

上面的$H(s)$和$H(z)$称为系统的系统函数

$H(j\omega)$和$H(e^{j\omega})$称为系统的频率响应

第4章连续时间傅里叶变换

$$x(t)=\frac 1{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

$$X(j\omega)=\int_{-\infin}^{+\infin} x(t)e^{-j\omega t}dt$$

傅里叶变换性质

$$-\frac 1{jt}x(t)+\pi x(0)\delta(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \int_{-\infin}^\omega X(j\eta)d\eta$$

基本傅里叶变换对

线性常系数微分方程表示的系统

$$\sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k}=\sum_{k=0}^{M}b_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}$$

$$H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{\sum_{k=0}^M(j\omega)^kb_k}{\sum_{k=0}^{N}(j\omega)^ka_k}$$

第5章离散时间傅里叶变换

$$x[n]=\frac 1{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$$

$$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}x[n]e^{-j\omega n}$$

收敛性

收敛的 2 个不等价的充分条件：

• 平方可和

  $$\sum_{n=-\infin}^{+\infin}|x[n]|<\infin$$

• 绝对可和

  $$\sum_{n=-\infin}^{+\infin}|x[n]|^2<\infin$$

傅里叶变换性质

基本傅里叶变换对

$$a^{|n|}\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}+\frac{ae^{j\omega}}{1-ae^{j\omega}}=\frac{1-a^2}{1-2a\cos\omega+a^2}$$

对偶性质

离散时间傅里叶级数的对偶

类比时移和频移

$$x[n-n_0]\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}a_ke^{-jk\frac{2\pi}{N}n_0}$$

$$x[n]e^{jm\frac{2\pi}{N}n}\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}a_{k-m}$$

类比卷积和乘积

$$\sum_{r=<N>}x[r]y[n-r]\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}Na_kb_k$$

$$x[n]y[n]\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\sum_{l=<N>}a_lb_{k-l}$$

傅里叶级数及傅里叶变换综合

线性常系数微分方程表示的系统

$$\sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k]=\sum_{k=0}^Mb_kx[n-k]$$

$$H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}=\frac{\sum_{k=0}^Mb_ke^{-jk\omega}}{\sum_{k=0}^Na_ke^{-jk\omega}}$$

第6章信号与系统的时域和频域特性

在LTI系统分析中，由于时域中的卷积运算和微分（差分）方程在频域都变成了代数运算，所以利用频域分析往往特别方便。

连续时间傅里叶变换的模-相位表示

$$X(j\omega)=|X(j\omega)|e^{j\sphericalangle X(j\omega)}$$

$$X(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j\sphericalangle X(e^{j\omega})}$$

导致信号失真的原因有两种：

• 幅度失真：频谱的模改变引起的失真。

• 相位失真：频谱的相位改变引起的失真。

LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面:

• 改变输入信号各频率分量的幅度
• 改变输入信号各频率分量的相对相位

$$Y(j\omega)=X(j\omega)H(j\omega)$$

$$|Y(j\omega)|=|X(j\omega)||H(j\omega)|$$

$$\sphericalangle Y(j\omega)=\sphericalangle X(j\omega)+\sphericalangle H(j\omega)$$

信号的无失真传输条件

如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视为在传输中未发生失真：

连续时间

$$y(t)=kx(t-t_0)$$

这就要求

$$H(j\omega)=ke^{-j\omega t_0}$$

$$h(t)=k\delta(t-t_0)$$

离散时间

$$y[n]=kx[n-n_0]$$

这就要求

$$H(e^{j\omega})=ke^{-j\omega n_0}$$

$$h[n]=k\delta(n-n_0)$$

第7章采样

采样的数学模型

$x(t)$ 为待采样的连续时间信号，使用冲激串采样的方式，采样函数 $p(t)=\sum_{n=-\infin}^{+\infin} \delta(t-nT)$ , 采样的结果为：

$$x_p(t)=x(t)\cdot p(t)$$

$p(t)$ 的傅里叶变换, 其中 $\omega_s=\frac{2\pi}T$ 为采样频率（s 表示 sampling）

$$P(j\omega)=\frac {2\pi}{T}\sum_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(\omega-k\omega_s)$$

$x_p(t)$ 的傅里叶变换：

$$\begin{aligned} X_p(j\omega)&=\frac 1{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}X(j\theta)P(j(\omega-\theta))d\theta\\ &=\frac 1{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}X(j\theta)\frac {2\pi}{T}\sum_{k=-\infin}^{+\infin}\delta(\omega-\theta-k\omega_s)d\theta\\ &=\frac 1T \sum_{k=-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}X(j\theta)\delta(\omega-\theta-k\omega_s)d\theta\\ &=\frac 1T\sum_{k=-\infin}^{+\infin}X(j(\omega-k\omega_s)) \end{aligned}$$

$\omega_M$ 为 $x(t)$ 的最大频率（M 表示 max）

要避免 $X_p(j\omega)$ 中移位的 $X(j\omega)$ 之间出现重叠，要求$\omega_M < \omega_s-\omega_M$

结果称为采样定理：

$$\omega_s >2\omega_M$$

$2\omega_M$ 称为奈奎斯特速率(Nyquist rate)

$\omega_M$ 称为奈奎斯特频率

零阶保持采样

零阶保持采样相当于理想采样后，再级联一个零阶保持系统，是最简单的一种恢复重建采样前原信号的方法。

内插

也称为时域带限内插。

$h(t)$ 为理想低通滤波器的单位冲激响应, 理想内插以理想低通滤波器的单位冲激响应作为内插函数。

欠采样的效果—频谱混叠

如果采样时，不满足采样定理的要求，就会在 $x(t)$ 的频谱周期延拓时，出现频谱混叠的现象。

此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但是恢复所得的信号 $x_r(t)$ 与原信号 $x(t)$ 在采样点上仍将具有相同的值。

$$x_r(nT)=x(nT)$$

第8章通信系统

正弦幅度调制

幅度调制使用一个乘法器

$$y(t)=x(t)c(t)$$

其中 $x(t)$ 为调制信号， $c(t)$ 为载波， $y(t)$ 为已调信号

$$c(t)=\cos(\omega_c t+\theta_c)$$

为了运算方便，取 $\theta_c$ 为 0

$$c(t)=\cos(\omega_c t)$$

$$C(j\omega)=\pi\big(\delta(\omega-\omega_c) + \delta(\omega+\omega_c) \big)$$

由此求得 $Y(j\omega)$

$$\begin{aligned} Y(j\omega) &= X(j\omega)*C(j\omega)\\ &= \frac 1{2\pi} \int_{-\infin}^{+\infin}X(j\theta)C(j(\omega-\theta))\text{d}\theta \\ &=\frac 1{2}\big( X(j(\omega-\omega_c)) +X(j(\omega+\omega_c)) \big) \end{aligned}$$

同步解调

$$\begin{aligned} w(t) &= y(t)\cos(\omega_ct)\\ &=x(t) \cos^2(\omega_c t)\\ &=\frac 12 x(t)+\frac 12\cos(2\omega_ct)x(t) \end{aligned}$$

技术关键：

• 解调端所用的载波必须与调制时的载波同频

• 所用理想低通滤波器的截止频率 $W$ 要满足

  $$\omega_M< W <2\omega_c-\omega_M$$

第9章拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换定义如下

$$X(s)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(t)e^{-st}dt$$

记作

$$x(t)\stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow}X(s)$$

拉普拉斯变换和傅里叶变换的关联：

$$X(s)|_{s=j\omega}=\mathcal{F}(x(t))$$

这说明，连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在 $\sigma = 0$ 或是在 $j\omega$ 轴上的特例($s = \sigma+j\omega$)

$$X(s)=X(\sigma +j\omega) = \mathcal{F}(x(t)e^{-\sigma t})$$

拉普拉斯逆变换

$$x(t)=\frac 1{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}X(\sigma+j\omega)e^{(\sigma+j\omega)t}d\omega=\frac 1{2\pi j}\int_{\sigma-j\infin}^{\sigma+j\infin}X(s)e^{st}ds$$

收敛域性质

1. $X(s)$ 的收敛域在 $s$ 平面内由平行于 $j\omega$ 轴的带状区域所组成。
2. 对有理拉普拉斯变换来说，收敛域内不包括任何极点。
3. 如果 $x(t)$ 是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个 $s$ 平面。
4. 如果 $x(t)$ 是右边信号，并且 $\mathcal{Re}\{s\}=\sigma_0$ 这条线位于收敛域内，那么$\mathcal{Re}\{s\}>\sigma_0$ 的全部 $s$ 值都一定在收敛域内。
5. 如果 $x(t)$ 是左边信号，并且 $\mathcal{Re}\{s\}=\sigma_0$ 这条线位于收敛域内，那么$\mathcal{Re}\{s\}<\sigma_0$ 的全部 $s$ 值都一定在收敛域内。
6. 如果 $x(t)$ 是双边信号，并且 $\mathcal{Re}\{s\}=\sigma_0$ 这条线位于收敛域内，那么收敛域就一定由 $s$ 平面的一条带状区域组成，直线 $\mathcal{Re}\{s\}=\sigma_0$ 位于带中。
7. 如果 $x(t)$ 的拉普拉斯变换 $X(s)$ 是有理的, 那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外, 在收敛域内不包含 $X(s)$ 的任何极点。
8. 如果 $x(t)$ 的拉普拉斯变换 $X(s)$ 是有理的，那么若 $x(t)$ 是右边信号，则其收敛域在 $s$ 平面上位于最右边极点的右边; 若 $x(t)$ 是左边信号, 则其收敛域在 $s$ 平面上位于最左边极点的左边。

拉普拉斯变换性质

常用拉普拉斯变换

拉普拉斯变换-线性时不变系统

因果性：

一个因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面

对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就等效于收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。

稳定性：

当且仅当系统函数的收敛域包括 $j\omega$ 轴，一个线性时不变系统是稳定的

当且仅当 $H(s)$ 的全部极点都位于 $s$ 平面的左半平面时，也即全部极点都有负实部时，一个具有有理系统函数 $H(s)$ 的因果系统才是稳定的。

由线性常系数微分方程表征的线性时不变系统

考虑如下形式的线性常系数微分方程

$$\sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^ky(t)}{dt^k}=\sum_{k=0}^Mb_k\frac{d^kx(t)}{dt^k}$$

两边进行拉普拉斯变换，可得

$$\bigg (\sum_{k=0}^Na_ks^k\bigg)Y(s)=\bigg(\sum_{k=0}^Mb_ks^k\bigg)X(s)$$

$$H(s)=\frac{\sum_{k=0}^Mb_ks^k}{\sum_{k=0}^Na_ks^k}$$

单边拉普拉斯变换

$$x(t)\stackrel{\mathcal{UL}}{\longleftrightarrow}\mathcal{X}(s)=\mathcal{UL}\{x(t)\}$$

$$\mathcal{X}(s)=\int_{0^-}^{\infin}x(t)e^{-st}dt$$

收敛域：任何单边拉普拉斯变换的收敛域总是某一右半平面。例如,一个有理单边拉普拉斯变换的收敛域总是在最右边极点的右边。

零状态响应：令初始条件为0，在初始松弛条件下的响应，用 $y_{zs}(t)$ 表示(zero state) ，其单边拉普拉斯变换可表示为 $\mathcal{Y}_{zs}(z)$

零输入响应：令输入为0，系统对初始条件的响应，用 $y_{zi}(t)$ 表示(zero input)，其单边拉普拉斯变换可表示为 $\mathcal{Y}_{zi}(z)$

值得注意的是，零状态响应和零输入响应都是关于t的函数，而不是Z变换后的结果

强迫响应：随着t增加，不会衰减的部分，例如阶跃函数

自然响应：随着t增加，会衰减的部分

第10章z变换

$$\mathcal{Z}\{x[n]\}=X(z)=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}x[n]z^{-n}$$

记为

$$x[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}X(z)$$

z变换和傅里叶变换的关系:

把 z 写成极坐标形式

$$z=re^{j\omega}$$

所以有

$$X(re^{j\omega})=\mathcal{F}(r^{-n}x[n])$$

z逆变换

$$x[n]=\frac 1{2\pi}\int_{2\pi}X(re^{j\omega})(re^{j\omega})^nd\omega=\frac1{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz$$

收敛域性质

1. $X(z)$ 的收敛域是在 $z$ 平面内以原点为中心的圆环。

2. 收敛域内不包含任何极点。

3. 如果 $x[n]$ 是有限长序列，那么收敛域就是整个 $z$ 平面，可能除去 $z=0$ 和/或 $z=\infin$ 。

4. 如果 $x[n]$ 是一个右边序列，并且 $|z|=r_0$ 的圆位于收敛域内，那么 $|z| >r_0$ 的全部有限 $z$ 值都一定在这个收敛域内。

5. 如果 $x[n]$ 是一个左边序列，而且 $|z|=r_0$ 的圆位于收敛域内，那么满足 $0 <|z|<r_0$ 的全部 $z$ 值都一定在这个收敛域内。

6. 如果 $x[n]$ 是双边序列，而且 $|z| =r_0$ 的圆位于收敛域内，那么该收敛域在 $z$ 域中一定是包含 $|z|=r_0$ 这一圆环的环状区域。

7. 如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的, 那么它的收敛域就被极点所界定,或者延伸至无限远。

8. 如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的, 并且 $x[n]$ 是右边序列,那么收敛域就位于 $z$ 平面内最外层极点的外边，也就是半径等于 $X(z)$ 极点中最大模值的圆的外边。而且，若 $x[n]$ 是因果序列，即 $x[n]$ 为 $n<0$ 时等于零的右边序列，那么收敛域也包括 $z=\infin$ 。

9. 如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的, 并且 $x[n]$ 是左边序列, 那么收敛域就位于 $z$ 平面内最里层的非零极点的里边, 也就是半径等于 $X(z)$ 中除去 $z=0$ 的极点中最小模值的圆的里边, 并且向内延伸到可能包括 $z=0$ 。特别是,若 $x[n]$ 是反因果序列,即 $x[n]$ 为 $n>0$ 时等于零的左边序列, 那么收敛域也包括 $z=0$ 。

性质小结

因果性和稳定性

因果性

一个离散时间线性时不变系统,当且仅当它的系统函数的收敛域在某个圆的外边,且包括无限远点时，该系统就是因果的。

一个具有有理系统函数$H(z)$的线性时不变系统是因果的，当且仅当：(a)收敛域位于最外层极点外边某个圆的外边；并且(b)若$H(z)$表示成$z$的多项式之比，其分子的阶次不能高于分母的阶次。

稳定性

一个线性时不变系统,当且仅当它的系统函数 $H(z)$ 的收敛域包括单位圆 $|z|=1$ 时,该系统就是稳定的。

一个具有有理系统函数的因果线性时不变系统，当且仅当$H(z)$的全部极点都位于单位圆内时。即全部极点的模均小干1时，该系统就是稳定的。

z变换-线性常系数差分方程

$$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^Mb_kx[n-k]$$

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^Mb_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^Na_kz^{-k}}$$

单边z变换

$$\mathcal{X}(z)=\sum_{n=0}^{+\infin}x[n]z^{-n}$$

$$x[n]\stackrel{\mathcal{UZ}}{\longleftrightarrow}X(z)=\mathcal{UZ}\{x[n]\}$$

一个z函数能够称为单边z变换的充要条件是，存在一个没有z的正幂次项的级数展开式，等价于其分子的阶次不能高于分母的阶次，