线性代数概念总结

线性代数常见面试问题总结，含答案_线性代数面试题-CSDN博客

保研面试/考研复试线性代数问题整理

以下内容由CJL整理自

《工程数学线性代数第六版》同济大学数学系编

ISBN 978-7-04-039661-4

第 1 章 行列式

1.3 $n$ 阶行列式的定义

定义 2 设有 $n^2$ 个数，排成 $n$ 行 $n$ 列的数表

$\begin{aligned} & a_{11} \quad a_{12} \quad \cdots \quad a_{1n} \\ & a_{21} \quad a_{22} \quad \cdots \quad a_{2n} \\ & \vdots \quad \vdots \quad \ddots \quad \vdots \\ & a_{n1} \quad a_{n2} \quad \cdots \quad a_{nn}, \end{aligned}$

作出表中位于不同行不同列的 $n$ 个数的乘积，并冠以符号 $(-1)^t$，得到形如

$(-1)^t a_{1p_1} a_{2p_2} \cdots a_{np_n}$

的项，其中 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 为自然数 $1, 2, \cdots, n$ 的一个排列，$t$ 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有 $n!$ 个，因而形如 (7) 式的项共有 $n!$ 项。所有这 $n!$ 项的代数和

$\sum (-1)^t a_{1p_1} a_{2p_2} \cdots a_{np_n}$

称为 $n$ 阶行列式，记作

$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$

1.4 行列式的性质

性质 1 行列式与它的转置行列式相等。

性质 2 对换行列式的两行（列），行列式变号。

性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此行列式。

性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

性质 5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 $i$ 行的元素都是两数之和：

$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} + a'_{i1} & a_{i2} + a'_{i2} & \cdots & a_{in} + a'_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix},$

则 $D$ 等于下列两个行列式之和：

$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a'_{i1} & a'_{i2} & \cdots & a'_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$

性质 6 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

1.5 行列式按行（列）展开

在 $n$ 阶行列式中，把 $(i, j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式叫做 $(i, j)$ 元 $a_{ij}$ 的 余子式，记作 $M_{ij}$；记

$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij},$

$A_{ij}$ 叫做 $(i, j)$ 元 $a_{ij}$ 的 代数余子式。

定理 2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$D = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in} \quad (i = 1, 2, \cdots, n)$

或

$D = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} \quad (j = 1, 2, \cdots, n).$

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第 2 章 矩阵及其运算

2.2 矩阵的运算

例 10 行列式 $|A|$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下的矩阵

$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix},$

称为矩阵 $A$ 的 伴随矩阵，简称 伴随阵。

$AA^* = A^*A = |A|E.$

2.3 逆矩阵

定义 7 对于 $n$ 阶矩阵 $A$，如果有一个 $n$ 阶矩阵 $B$，使

$AB = BA = E,$

则说矩阵 $A$ 是可逆的，并把矩阵 $B$ 称为 $A$ 的 逆矩阵，简称 逆阵.

定理 2 若 $|A| \neq 0$，则矩阵 $A$ 可逆，且

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*,$

其中 $A^*$ 为矩阵 $A$ 的伴随矩阵.

$A$ 是可逆矩阵的充分必要条件是 $|A| \neq 0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵.

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2.4 克拉默法则

含有 $n$ 个未知数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的 $n$ 个线性方程的方程组

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$

它的解可以用 $n$ 阶行列式表示，即有

克拉默法则 如果线性方程组 (9) 的系数矩阵 $A$ 的行列式不等于零，即

$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \neq 0,$

那么，方程组 (9) 有惟一解

$x_1 = \frac{|A_1|}{|A|}, \quad x_2 = \frac{|A_2|}{|A|}, \quad \cdots, \quad x_n = \frac{|A_n|}{|A|},$

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第 3 章 矩阵的初等变换与线性方程组

3.2 矩阵的秩

定义 4 在 $m \times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列 ($k \leqslant m, k \leqslant n$)，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式.

定义 5 设在矩阵 $A$ 中有一个不等于 0 的 $r$ 阶子式 $D$，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$，并规定零矩阵的秩等于 0.

定理 2 若 $A\sim B$，则 $R(A)=R(B)$

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3.3 线性方程组的解

定理 3 $n$ 元线性方程组 $Ax = b$

(i) 无解的充分必要条件是 $R(A) < R(A, b)$；

(ii) 有惟一解的充分必要条件是 $R(A) = R(A, b) = n$；

(iii) 有无限多解的充分必要条件是 $R(A) = R(A, b) < n$.

定理 4 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解的充分必要条件是 $R(A) < n$.

定理 5 线性方程组 $Ax = b$ 有解的充分必要条件是 $R(A) = R(A, b)$.

定理 6 矩阵方程 $AX = B$ 有解的充分必要条件是 $R(A) = R(A, B)$.

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第 4 章 向量组的线性相关性

4.1 向量组及其线性组合

定理 1 向量 $b$ 能由向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A = (a_1, a_2, \cdots, a_m)$ 的秩等于矩阵 $B = (a_1, a_2, \cdots, a_m, b)$ 的秩.

定义 3 设有两个向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$ 及 $B: b_1, b_2, \cdots, b_l$，若 $B$ 组中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表示，则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示. 若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能相互线性表示，则称这两个向量组等价.

定理 2 向量组 $B: b_1, b_2, \cdots, b_l$ 能由向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A = (a_1, a_2, \cdots, a_m)$ 的秩等于矩阵 $(A, B) = (a_1, \cdots, a_m, b_1, \cdots, b_l)$ 的秩，即 $R(A) = R(A, B)$.

推论 向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$ 与向量组 $B: b_1, b_2, \cdots, b_l$ 等价的充分必要条件是

$R(A) = R(B) = R(A, B),$

其中 $A$ 和 $B$ 是向量组 $A$ 和 $B$ 所构成的矩阵.

定理 3 设向量组 $B: b_1, b_2, \cdots, b_l$ 能由向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性表示，则

$R(b_1, b_2, \cdots, b_l) \leqslant R(a_1, a_2, \cdots, a_m).$

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4.2 向量组的线性相关性

定义 4 给定向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$，如果存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$，使

$k_1a_1 + k_2a_2 + \cdots + k_ma_m = 0,$

则称向量组 $A$ 是 线性相关的，否则称它 线性无关.

定理 4 向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 $A = (a_1, a_2, \cdots, a_m)$ 的秩小于向量个数 $m$；向量组 $A$ 线性无关的充分必要条件是 $R(A) = m$.

定理 5

(1) 若向量组 $A: a_1, \cdots, a_m$ 线性相关，则向量组 $B: a_1, \cdots, a_m, a_{m+1}$ 也线性相关. 反之，若向量组 $B$ 线性无关，则向量组 $A$ 也线性无关.

(2) $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当维数 $n$ 小于向量个数 $m$ 时一定线性相关. 特别地，$n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关.

(3) 设向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性无关，而向量组 $B: a_1, \cdots, a_m, b$ 线性相关，则向量 $b$ 必能由向量组 $A$ 线性表示，且表示式是惟一的.

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4.3 向量组的秩

定义 5 设有向量组 $A$，如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量 $a_1, a_2, \cdots, a_r$，满足

(i) 向量组 $A_0: a_1, a_2, \cdots, a_r$ 线性无关；

(ii) 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果 $A$ 中有 $r+1$ 个向量的话）都线性相关，

那么称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个 最大线性无关向量组（简称 最大无关组），最大无关组所含向量个数 $r$ 称为向量组 $A$ 的秩，记作 $R_A$.

推论（最大无关组的等价定义）
设向量组 $A_0: a_1, a_2, \cdots, a_r$ 是向量组 $A$ 的一个部分组，且满足

(i) 向量组 $A_0$ 线性无关；

(ii) 向量组 $A$ 的任一向量都能由向量组 $A_0$ 线性表示，

那么向量组 $A_0$ 便是向量组 $A$ 的一个最大无关组.

定理 6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

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4.4 线性方程组的解的结构

定理 7 设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A) = r$，则 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解集 $S$ 的秩 $R_S = n - r$.

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4.5 向量空间

定义 6 设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 $V$ 为 向量空间.

所谓 封闭，是指在集合 $V$ 中可以进行向量的加法及数乘两种运算.

定义 7 设有向量空间 $V_1$ 及 $V_2$，若 $V_1 \subseteq V_2$，就称 $V_1$ 是 $V_2$ 的 子空间.

定义 8 设 $V$ 为向量空间，如果 $r$ 个向量 $a_1, a_2, \cdots, a_r \in V$，且满足

(i) $a_1, a_2, \cdots, a_r$ 线性无关；

(ii) $V$ 中任一向量都可由 $a_1, a_2, \cdots, a_r$ 线性表示，

那么，向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_r$ 就称为向量空间 $V$ 的一个 基，$r$ 称为向量空间 $V$ 的 维数，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间.

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定义 9

如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 $a_1, a_2, \cdots, a_r$，那么 $V$ 中任一向量 $x$ 可惟一地表示为

$x = \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_r a_r,$

数组 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 称为向量 $x$ 在基 $a_1, a_2, \cdots, a_r$ 中的 坐标.

特别地，在 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 中取单位坐标向量组 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 为基，则以 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为分量的向量 $x$，可表示为

$x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n,$

可见向量在基 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 中的坐标就是该向量的分量. 因此，$e_1, e_2, \cdots, e_n$ 叫做 $\mathbb{R}^n$ 中的 自然基.

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第 5 章 相似矩阵及二次型

5.1 向量的内积、长度及正交性

定义 1 设有 $n$ 维向量

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix},$

令

$[x, y] = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n,$

$[x, y]$ 称为向量 $x$ 与 $y$ 的 内积.

当 $[x, y] = 0$ 时，称向量 $x$ 与 $y$ 正交.

定理 1 若 $n$ 维向量 $a_1, a_2, \cdots, a_r$ 是一组两两正交的非零向量，则 $a_1, a_2, \cdots, a_r$ 线性无关.

定义 3 设 $n$ 维向量 $e_1, e_2, \cdots, e_r$ 是向量空间 $V$ ($V \subseteq \mathbb{R}^n$) 的一个基，如果 $e_1, \cdots, e_r$ 两两正交，且都是单位向量，则称 $e_1, \cdots, e_r$ 是 $V$ 的一个 标准正交基.

例如

$e_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad e_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

就是 $\mathbb{R}^4$ 的一个标准正交基.

施密特正交化

我们可以用以下办法把 $a_1, \cdots, a_r$ 标准正交化：取

$b_1 = a_1,$

$b_2 = a_2 - \frac{[b_1, a_2]}{[b_1, b_1]}b_1,$

$\vdots$

$b_r = a_r - \frac{[b_1, a_r]}{[b_1, b_1]}b_1 - \frac{[b_2, a_r]}{[b_2, b_2]}b_2 - \cdots - \frac{[b_{r-1}, a_r]}{[b_{r-1}, b_{r-1}]}b_{r-1},$

容易验证 $b_1, \cdots, b_r$ 两两正交，且 $b_1, \cdots, b_r$ 与 $a_1, \cdots, a_r$ 等价.

5.2 方阵的特征值与特征向量

定义 6 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $x$ 使关系式

$Ax = \lambda x$

成立，那么，这样的数 $\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的特征值，非零向量 $x$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量.

定理 2
设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个特征值，$p_1, p_2, \cdots, p_m$ 依次是与之对应的特征向量，如果 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 各不相等，则 $p_1, p_2, \cdots, p_m$ 线性无关.

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5.3 相似矩阵

定义 7
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $P$，使

$P^{-1}AP = B,$

则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似. 对 $A$ 进行运算 $P^{-1}AP$ 称为对 $A$ 进行相似变换，可逆矩阵 $P$ 称为把 $A$ 变成 $B$ 的相似变换矩阵.

定理 3
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同，从而 $A$ 与 $B$ 的特征值亦相同.

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推论

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵

$A = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$

相似，则 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值.

定理 4
$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似（即 $A$ 能对角化）的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.

推论
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $A$ 与对角矩阵相似.

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5.4 对称矩阵的对角化

性质 1
对称矩阵的特征值为实数.

性质 2
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是对称矩阵 $A$ 的两个特征值，$p_1, p_2$ 是对应的特征向量. 若 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，则 $p_1$ 与 $p_2$ 正交.

定理 5
设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP = P^TAP = \Lambda$，其中 $\Lambda$ 是以 $A$ 的 $n$ 个特征值为对角元的对角矩阵.

推论
设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征方程的 $k$ 重根，则矩阵 $A - \lambda E$ 的秩 $R(A - \lambda E) = n - k$，从而对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量.

一个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵。

对称矩阵的谱定理

一个对称的 $n \times n$ 矩阵具有下面特性：

a. $A$ 有 $n$ 个特征值，包含重复的特征值。

b. 对每一个特征值，对应特征子空间的维数等于 $\lambda$ 作为特征方程的根的重数。

c. 特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应不同特征值的意义下成立的。

d. $A$ 可正交对角化。

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5.5 二次型及其标准形

定义 8
含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的二次齐次函数

$f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 +$

$2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \cdots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$

称为二次型.

• 标准型：只含平方项的二次型.

• 规范型：系数只能取 $1, -1, 0$ 的标准型.

定义 9
设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$，使 $B = C^TAC$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同.

定理 6
任给二次型 $f = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j$ ($a_{ij} = a_{ji}$)，总有正交变换 $x = Py$，使 $f$ 化为标准形

$f = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2,$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $f$ 的矩阵 $A = (a_{ij})$ 的特征值.

5.7 正定二次型

定义 10
设二次型 $f(x) = x^TAx$，如果对任何 $x \neq 0$，都有 $f(x) > 0$（显然 $f(0) = 0$），则称 $f$ 为 正定二次型，并称对称矩阵 $A$ 是 正定的；如果对任何 $x \neq 0$ 都有 $f(x) < 0$，则称 $f$ 为 负定二次型，并称对称矩阵 $A$ 是 负定的.